XProfan

WindowTitle "**************    CATALAN-ZAHLEN   ******************"
Font 2:randomize:cls rnd(8^8)
set("Decimals",0)
Declare nmax&,n&,p!
zugross:
locate 1,1
print " Catalan-Zahlen berechnen (n_max=511): n =      ";
locate 1,45
input nmax&
case nmax&>511:goto "zugross"
n&=0

While n&<=nmax&

    p!=1

    WhileLoop 1,2*n&-1,2

        p!=p!*&Loop/(&Loop+1)

    EndWhile

    p!=p!*2^(2*n&)/(n&+1)
    'print " C("+str$(n&)+") = ";
    print n&;":";str$(p!)+"  ";
    case %pos>40: print

    if %csrlin>22 : WaitInput 2000: cls rnd(8^8): endif

        inc n&

    EndWhile

    print "\n\nEs folgen einige Infos..."
    WaitInput 6000
    Cls rnd(8^8)
    print " 1.                                            "
    print " Catalan-Zahlen sind benannt nach              "
    print " Charles Catalan, belgischer Mathematiker      "
    print " (1814-1894). Er arbeitete an Kettenbrüchen,   "
    print " Geometrie, Zahlentheorie und Kombinatorik.    "
    print " (Anm.: Zahlen dieser Folge wurden bereits     "
    print " 1751 von Leonhard Euler in einem Brief an     "
    print " Christian Goldbach beschrieben. Euler suchte  "
    print " die Anzahl der Möglichkeiten, ein konvexes n- "
    print " Eck durch Diagonalen in Dreiecke zu zerlegen.)"
    print " --------------------------------------------  "
    print " Catalan-Zahlen haben ähnliche Bedeutung       "
    print " wie z.B. das Pascal'sche Dreieck oder         "
    print " die Fibonacci-Folge.                          "
    print " --------------------------------------------  "
    print "                                               "
    WaitInput 20000
    cls rnd(8^8)
    print " 2.                                            "
    print " Weitere Zuschreibungen:                       "
    print " --------------------------------------------  "
    print " Die Catalanische Vermutung (1844) wurde       "
    print " erst 2002 von Mihailescu bewiesen:            "
    print " 'Ausser 2^3 und 3^2 gibt es keine echten      "
    print " Potenzen, die sich um genau 1 unterscheiden'  "
    print " --------------------------------------------  "
    print " Die Catalan'sche Konstante G ist die          "
    print " Grenzsumme von -1^n/(2*n+1)^2 für n=0..+Inf.  "
    print " G = 0,915965594177219015054603514932384110::  "
    print " ::77414937428167... (Folge A006752 in OEIS)   "
    print " Am 16. April 2009 waren  31026000000 Komma-   "
    print " stellen bekannt.                              "
    print " --------------------------------------------  "
    print "                                               "
    WaitInput 20000
    cls rnd(8^8)
    print " 3.                                            "
    print " Berechnung von Catalan-Zahlen:                "
    print " --------------------------------------------  "
    print " Die n. Catalan-Zahl C_n errechnet sich zu     "
    print " 1/(n+1) * (2n OVER n) = (2*n)!/((n+1)!*n!)    "
    print " wobei 2n over n = Mittlerer Binomialkoeff.    "
    print " Obige Formel ist äquivalent zu                "
    print " C(n)=(2n OVER n) - (2n OVER n+1)              "
    print " --------------------------------------------  "
    print " Einzig C2=2 und C3=5 sind Primzahlen.         "
    print " --------------------------------------------  "
    print "                                               "
    WaitInput 20000
    cls rnd(8^8)
    print " 4.                                            "
    print " Anwendungen mit Catalan-Zahlen:               "
    print " --------------------------------------------  "
    print " Catalan-Zahlen treten bei Abzählungsaufgaben  "
    print " auf, graphentheoretisch bei sog. Bäumen.      "
    print " --------------------------------------------  "
    print " C_n ist auch die Anzahl der Klammerungen eines"
    print " Produktes,in dem n Multiplikationen vorkommen,"
    print " oder mit n+1 Faktoren so, dass immer nur die  "
    print " Multipl. von zwei Faktoren durchzuführen ist. "
    print " --------------------------------------------  "
    print "                                               "
    WaitInput 20000
    cls rnd(8^8)
    print " 5.                                            "
    print " Pfade und Irrfahrten                          "
    print " Auch eindimensionale Irrfahrten von 0 nach 2n "
    print " mit Anfangs-& Endpunkt in 0 so, dass sich der "
    print " Pfad nie unterhalb der x-Achse befindet: 2n=6:"
    print "  ///\\\\\  //\/\\\\ //\\\\/\ /\//\\\\ /\/\/\: C(3)=5  "
    print " --------------------------------------------  "
    print " C_n gibt die Zahl der Gitterwege von A nach B."
    print " --------------------------------------------  "
    print " Anzahl unterschiedlicher Binärbäumen mit 2n+1 "
    print " Knoten (bzw. n+1 Blättern):   C(n)            "
    print " --------------------------------------------  "
    print "                                               "
    print "                   Ende                        "
    WaitInput
    End