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p.specht

Wie lang ist ein Bogenteil einer Ellipse? Es kommt natürlich auf die Form der Ellipse an UND auf die Frage, von wo bis wo gemessen wird. Das beliebige Verhältnis der Ellipsenachsen zueinander ruiniert leider jede geschlossene Formel.

Aber: Man kann die Parameter "Achsenverhältnis" und "Von wo bis wo wird gemessen" nach einer von Gauß gefundenene Mittelwerte-Beziehung ("Arithmetisch-geometrisches Mittel") gegeneinander abtauschen! Man versucht dann auf diese Weise, das Achsenverhältnis 1 werden zu lassen (Die sog. Landen-Transformation), dann haben wir es plötzlich mit einem Kreis zu tun, und der andere Parameter liefert dann das Ergebnis via die für Kreise bestens bekannte Umfangsformel. Dazu braucht man aber das genaue AGM:

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WindowTitle "Den Arithmetisch-geometrischen Mittelwert AGM(a,b) berechnen"
'(CL) CopyLeft 2015-08 by P.Specht, Wien (Austria); OHNE JEDE GEWÄHR!
'Quelle u.a. https://www.math.cornell.edu/~hubbard/RationalLandenTrans.pdf
WindowStyle 24:Cls:declare a!,b!,sgn!,tmp!,c$:set("decimals",18)
print "\n Für Parameterwerte a und b wird der von  C. F. Gauß  entwickelte"
print " Arithmetisch-geometrische Mittelwert iterativ errechnet. Der hat"
print " die Eigenschaft, Invarianztransformationen der Elliptischen Funk-"
print " tionskurven (sprich Parameter-Abtausch) zu ermöglichen, ohne daß"
print " der Funktionswert selbst verändert wird. (Das ermöglichte später"
print " schrittweise Näherungen für Funktionswerte, für die keine Formel"
print " existiert wie zB die Bogenlänge von Ellipsen, Lemniskaten etc. )"
print " ----------------------------------------------------------------\n"
Font 2
Lauf:
print " Wert a = ";:input c$:a!=val(c$)
print " Wert b = ";:input c$:b!=val(c$)
print " ----------------------------------------------------------------"
print "         a                                     b                 "
print " ";format$("%g",a!),tab(40);format$("%g",b!)
tmp!=a!*b!:sgn!=(tmp!>0)-(tmp!<0)

Repeat

    tmp! =(a!+b!)/2
    b!=sgn!*sqrt(abs(a!)*abs(b!))
    a!=tmp!
    print " ";format$("%g",a!),tab(40);format$("%g",b!)

until format$("%g",a!)=format$("%g",b!)

print " ----------------------------------------------------------------"
locate %csrlin-2,30:print "<=AGM=>\n\n";
waitinput
CLS
print " ----------------------------------------------------------------"
goto "Lauf"