XProfan

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p.specht

Bei vielen physikalischen Vorgängen mit nichtlinearen Einzel-Zusammenhängen können selbst bei bekannten Anfangsbedingungen keine geschlossenen Formeln zur Ergebnisberechnung herangezogen werden. Also muss man den Systemzustand für einen bestimmten Zeitpunkt schrittweise errechnen. Der schweizer Mathematiker Leonhard Euler stellte dazu schon um 1745 herum fest, daß dazu eine Lineare Näherung genügt, solange die einzelnen Rechenschritte nur klein genug sind. Hier eine entsprechende Anwendung, bei der man mit den Einzelwerten rumexperimentieren kann, um z.B. zu erkennen, warum Sternschnuppen meist in 15-20 km Höhe leuchten...

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WindowTitle "Explizites Euler-Verfahren, um einen typischen Kleinmeteor-Absturz zu simulieren"
' Details siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinen_Schritte
' Beispiel nach XProfan 11.2a übertragen (CL) CopyLeft 2014-01 by P.Specht, Wien
Window 0,0-%maxx,%maxy-40:Font 2:set("decimals",5):set("numwidth",18)
declare n&,a_gravi!, rho!, F_Luft!, a_gesamt!, v_neu!, v_alt!, h_neu!, h_alt!
var Masse! = 0.04' kg    Typische Eisenmeteor-Masse wäre nur ca. 4 Gramm!
var A! = 0.33' cm²   Querschnittsfläche des Meteors
var v! = 25' km/s  Geschwindigkeit am Startpunkt (Anfangsbedingung, ca. 15 km/s)
var h! = 120' km    Anfangshöhe über Grund
var rho_Boden! = 1.2041' kg/m³ =0,0012041 g/cm³ Luftdichte bei 20 °C auf Meeresniveau
var Cw!=1.18' 0.18 - 1.18 ' Cw = 2*Fw/(rho*A*v^2) Luftwiderstandsbeiwert cw, geschätzt
var dt!=0.1' s = Sec-Zeitschritt der Simulation
Ueberschrift

Repeat

    inc n&' Segment-Nr.
    a_gravi! = 9.80665 * sqr( 6370/(6370 + h!) )' Abnahme der Gravitation mit der Höhe
    rho!=rho_Boden!*exp(-h!/8.4)' Luftdichte in x km Höhe
    F_Luft! = rho!*Cw!*A!*sqr(v!)/2' Gegenwind-Kraft
    a_gesamt! = a_gravi! - F_Luft! / Masse!' Gesamtbeschleunigung
    v_neu! = v! + a_gesamt! * dt!' Segment-Durchschnittsgeschwindigkeit
    h_neu! = h! - v_neu! * dt!' Seehöhe
    Print h_neu!,n&,v_neu!,a_gravi!,rho!,F_Luft!,a_gesamt!
    casenot (%csrlin+2) mod 4:print
    case %csrlin>26 : warte
    v!=v_neu!
    h!=h_neu!

Until h! < -0.5

Waitinput
End

proc warte

    waitinput
    cls
    Ueberschrift

endproc

proc Ueberschrift

    print "         Seeöhe [km]      Bahnsegment    Geschwindigkeit [km/s],";
    print "     Gravitation,     Luftdichte,       Bremskraft,       Verzögerung\n"

endproc