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p.specht

Wenn´s tout autor allez, qui Longueur eines Bogenstückes qui Ellipse entre deux par Zentriwinkel definierten Punkten trop ermitteln, gibt es mangels einfacher analytischer Formel (beim Kreis z.B. L = r * alpha) seulement iterative Ansätze. Weil numerische intégration deutlich plus rapide allez comme qui sonst übliche MacLaurin-Reihenentwicklung avec zusätzlicher Integralrekursion, bemühte je Prof. Werner Rombergs Integrationsalgorithmus.

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Titre de la fenêtre "Ellipsenbogenlänge via Romberg-Wegintegral"
'{ initialisation
' (D) Demoware 2012-06 by P. Specht. sans jedwede Gewähr!
Font 2:randomize:set("decimals",18)
Déclarer a!,b!,xu!,xo!,n!,g!,tmp!,Integral!,lambda2!,epsi!,epsi2!
var f!=pi()/180
'}

proc Fnk :parameters x!

    declare y!,il%,sq!
    sq!=sin(x!):sq!=sq!*sq!

    si (epsi2!*sq!)<=1

        ' ======= PROGRAMMTEIL A =============
        y! = a!*sqrt(1 - epsi2!*sq!)
        ' ====================================

    d'autre

        y!=-1*10^-35

    endif

    return y!

endproc

'{ un/Ausgabeteil
Begin:
cls rnd(8^8):
imprimer "\n Ellipsenbogenlänge: "
imprimer "\n Grosse HALBachse a = "; :input a!
cas a!=0 : goto "Begin"
imprimer "\n Kleine Halbachse b = "; :input b!
cas b!=0 : goto "Begin"
cas a!=b!:imprimer " évident un Kreis comme Test! "
epsi2!=1-(b!*b!)/(a!*a!)
epsi!=sqrt(epsi2!)
imprimer "\n Numer. Exzentrizität Epsilon = "; epsi!
imprimer "\n de Zentriwinkel alpha_1[° ] = ";:input xu!
imprimer "\n   jusqu'à Zentriwinkel alpha_2[° ] =";:input xo!
imprimer "\n Abbruch-Genauigkeit [se mettre]: ";:input g!
cas g!=0:g!=10
g!=1/10^g!
Integral! = Rhomberg(xu!*f!,xo!*f!,g!)
imprimer "\n Ergebnis:\n"
imprimer " qui Bogenlänge entre "
imprimer " ";xu!;" et ";xo!; " [°Grad]"
imprimer " beträgt ";Integral!;"  bzw.  "; format$("%e",Integral!)
imprimer " avec einem faute <= ";format$("%e",tmp!)

si (xu!=0) and (xo!=90)

    imprimer "\n Kontrolle pour Winkel 0° - 90° avec 1/4 qui Ramanujan-UmfangsFormel: "
    lambda2!=(a!-b!)/(a!+b!):lambda2!=lambda2!*lambda2!
    imprimer  " ";1/4*Pi()*(a!+b!)*(1+3*lambda2! / (10+sqrt(4-3*lambda2!) ) )
    imprimer " avec einem rel. faute kleiner ";
    cas (epsi! >= 0) and (epsi! < 0.8820): imprimer "10^-9"
    cas (epsi! >= 0.8820) and (epsi! < 0.9242): imprimer "10^-8"
    cas (epsi! >= 0.9242) and (epsi! < 0.9577): imprimer "10^-7"
    cas (epsi! >= 0.9577) and (epsi! < 0,9812): imprimer "10^-6"
    cas (epsi! >= 0.9812) and (epsi! < 0.9944): imprimer "10^-5"
    cas (epsi! >= 0.9944) and (epsi! < 0.9995): imprimer "10^-4"
    cas (epsi! >= 0.9995) and (epsi! < 0.9999): imprimer "< 0.000403"
    cas (epsi! >= 0.99999) and (epsi! <=1): imprimer "< -0.5%"

endif

WaitInput
Goto "Begin"
'}

proc Rhomberg : parameters xu!,xo!

    var anz&=10' GERADE ZAHL!
    Déclarer i&,j&,k&,n&[anz&+1],H![anz&+1],L![anz&,anz&],Q!
    n&[0]=2
    H![0]=(xo!-xu!)/n&[0]
    ' benutzt Trapezregel:
    L![0,0]=H![0]/2*(Fnk(xu!)+Fnk(xo!)+2*Fnk(xu!+H![0]))

    WhileLoop Anz&:j&=&Boucle

        H![j&]=H![0]/(2^j&)
        n&[j&]=n&[0]*(2^j&)
        Q!=0

        whileLoop 0,n&[j&-1]-1:i&=&Boucle

            Q!=Q! + Fnk(xu!+(2*i&+1)*H![j&])

        endwhile

        L![0,j&]=L![0,j&-1]/2+H![j&]*Q!

    Endwhile

    WhileLoop Anz&:k&=&Boucle

        whileloop 0,Anz&-1:j&=&Boucle

            L![k&,j&]=1/(2^(2*k&)-1)*(2^(2*k&)*L![k&-1,j&+1]-L![k&-1,j&])

        endwhile

        tmp!=abs(L![k&,0]-L![k&-1,1])
        cas tmp!<=g!:pause

    Endwhile

    ' tmp! contient aktuelle Fehlergrenze
    return L![k&,0]

endproc