XProfan

Italia

p.specht

Uni-Anfängern wird im ersten Mathe-Unterricht gerne die harmlos erscheinende Gleichung y=x^x vorgestellt, zusammen mit der schlichten Bitte, die Kursteilnehmer mögen doch so nett sein und diese Funktion bis zum nächsten Termin nach x aufzulösen. Studenten unterschätzen diese Aufgabe in der Regel gewaltig und erhalten so ihr erstes Aha!-Erlebnis.
Ihren mathematischen Namen erhielt die Gleichung ebenfalls auf diese Weise: An Unis im anglikanischen Sprachraum werden die Erstsemestrigen üblicherweise "Sophomores" (altgriechisch etwa 'unbedarfter Dorftrottel') genannt, es handelt sich daher ganz offiziell um die sog. SOPHOMORE-Funktion: Y = X ^ X.

In der numerischen Praxis wird NICHT nach x umgestellt (= invertiert), sondern Newton-Raphson auf Xneu = x - (F(x)-y)/(d_F(X)/d_x)) angesetzt. Um die nötige Anzahl Iterationen so nieder wie possibile zu halten sollte die Ableitung von x^x - y = 0 bekannt sein, und die ergibt sich lt. Tabellen zu x^x*(ln(x)+1).

Kompilieren Markieren Separieren

WindowTitle "Iterative Lösung der Sophomore-Gleichung Y=X^X"
WindowStyle 24:set("decimals",17):font 2:CLS:declare x!,y!,xneu!,i&
REPEAT :print "\n Y=X^X Ges: X per Y=?",:input y!

if y!<=0:print " Funktion hier nicht mehr reell-wertig!":beep:continue

elseif y!<0.7:print " Wert nicht im monoton aufsteigenden Ast der Funktion!"

    beep:continue:endif:xneu!=10:i&=0
    Repeat:inc i&:x!=xneu!
    xneu!=x! - (x!^x!-y!)/(x!^x!*(ln(x!)+1))

until (abs(xneu!-x!)<(10^-15)) or (i&>2000)

if i&<=2000:print " x = ";x!," nach",i&,"Läufen. Probe: X^X= ";x!^x!

    else : print " *** Error: Nicht konvergent! ***":beep:endif

UNTIL %key=27:END