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p.specht

Die Gammafunktion ist bekanntlich unter vielen anderen Eigenschaften die kontinuierliche Variante der Faktoriellenfunktion - z.B. ist Facto(5)=5*4*3*2*1. Die Gammafunktion Gamma(x+1) sollte bei ganzzahligem reellen Input das selbe Ergebnis liefern wie Facto(x), und damit eine (differenzierbare) Formel per die Kurvenform der Faktoriellenfunktion liefern. Das klappt aber bisher nicht so richtig: Zahlreiche berühmte Näherungen existieren. Diese stammt aus 2007 und wird im nachstehenden Programm ausgetestet und ihre absolute Abweichung ermittelt.

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WindowTitle " Test der Gammafunktions-Näherung nach [G.Nemes 2007]"
WindowStyle 24:Window 0,0-800,%maxy-40:font 2
'https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation#A_convergent_version_of_Stirling's_formula

proc GammaNemes :parameters z!

    case z!<1/1e4:return 0:if z!>168:print " *** OVERFLOW ERROR ***":return 0:endif
    var uz!=1/z!
    return Sqrt(6.2831853071795865*uz!)*(.367879441171442322*(z!+1/(12*z!-.1*uz!)))^z!

endproc

proc Facto :parameters x&

    case x&<1:return 0

    if x&>168:print " *** OVERFLOW ERROR ***":return 0:endif

        var p!=1

        whileloop x&,1,-1

            p!=p!*&Loop

        endwhile

        return p!

    Endproc

    'Main part
    Declare gamma!
    CLS:set("decimals",4)

    Whileloop 180

        gamma!=GammaNemes(&Loop+1)
        Print:print " ",&Loop,
        print format$("%g",Facto(&Loop)),
        print format$("%g",round(gamma!,4)),
        print " AbsErr: ";format$("%g",gamma!-Facto(&Loop))
        waitinput 8000
        case %csrlin>34:cls

    endwhile

    print "---"
    waitinput
    End