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p.specht

Fourier-Interpolation: Bekanntlich lassen sich mathematische Funktionen mittels klassischer Fourier-Zerlegung spektral-analysieren, sprich: Analytisch in Grund- und Oberwellenanteile zerlegen. Manchmal hat man aber auch nur eine einfache Tabelle (z.B. Meßergebnisse) mit einer geraden (!) Anzahl von Stützwerten in gleichen (!) Abständen verfügbar. Faßt man diese als sich regelmäßig wiederholenden Wellenzug auf, ist 'Diskrete Fourieranalyse' angesagt, die auch unter Bezeichnung 'Harmonische Analyse' bekannt ist.

Das klappt auch umgekehrt: Wenn man die ursprüngliche Funktion wieder aus dem Wellensalat rekonstruiert, spricht man von 'Fourier-Synthese'. Vorteil der wieder zusammengesetzten Funktion: Sie ist kontinuierlich, d.h. es können auch beliebige Zwischenwerte zwischen den Stützwerten ermittelt werden, was Mathe-Freaks mit dem Begriff Interpolation bezeichnen.

Details: Statt einer Tabelleneingabe wurde im nachstehenden Beispiel eine Formel zur Ermittlung der Stützwerte verwendet. Aber das kann man natürlich jederzeit ändern, solange man die x_i-Werte von 0 bis 2*Pi laufen läßt. Die muss man erforderlichenfalls halt dort hintransformieren.

Vor Einsatz dieses Verfahrens sollte man kurz darüber nachdenken, ob den einzelnen Frequenzen im 'richtigen Leben' tatsächlich eine Bedeutung zukommt, - ob also bestimmte Ursachen der unterschiedlichern Frequenzen für das Ergebnis verantwortlich sein könnten - sonst gibt es nämlich deutlich einfachere Arten der Interpolation...

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'Die Umsetzung in XProfan ist eine reine DEMO ausschließlich für private Zwecke!
WindowTitle "Trigonometrische Interpolation             Beenden mit x = -1"
' Angelehnt an "B.Brand: Algorithmen zur praktischen Mathematik", Oldenbourg Vlg.1981, S.78
' Algorithmus portiert nach Xprofan-11 in 2014-09 by P.Specht, Wien; Ohne jedwede Gewähr!
WindowStyle 24:randomize:set("decimals",18):Window %maxx/4,0-%maxx/2,%maxy-40
var xh&=width(%hwnd)/2:var yh&=height(%hwnd)/2 :   Var m&=16' <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
declare i&,j&,k&,a![2*m&],b![2*m&],f!,x![2*m&],y![2*m&],x!,p!
print mkstr$("-",64)+"\n i            X[i]                 F=Y(x[i])\n"+mkstr$("-",64)

whileloop 0,2*m&:i&=&Loop:x![i&]=Pi()*i&/m& : y![i&]=cos(x![i&]+x![i&]*2)' <<<<<<<<<<<<<<<<

    casenot i& mod (1+m&\16):print if(i&>9,""," ");i&,tab(6);x![i&],tab(30);if(y![i&]<0,""," ");y![i&]
    endwhile :print mkstr$("-",64)

    whileloop 2*m&:i&=&Loop : a![0]=a![0]+y![i&]:a![i&]=a![i&]+y![i&]*(1-2*(i& mod 2))

        endwhile :a![0]=a![0]/m&/2:a![m&]=a![m&]/m&/2:print " a[ 0] = ";if(a![0]<0,""," ");a![0]

        whileloop m&-1:k&=&Loop

            whileloop 2*m&:i&=&Loop

                a![k&]=a![k&]+y![i&]*cos(k&*x![i&]) : b![k&]=b![k&]+y![i&]*sin(k&*x![i&])
                endwhile : a![k&]=a![k&]/m& : b![k&]=b![k&]/m&
                print " a[";if(k&<=9," ","");k&;"] = ";if(a![k&]<0,""," ");a![k&];\
                tab(33);"  b[";if(k&<=9," ","");k&;"] = ";if(b![k&]<0,""," ");b![k&]
                endwhile :print " a[";if(m&<=9," ","");m&;"] = ";if(a![m&]<0,""," ");a![m&];\
                tab(33);"  b[";if(m&<=9," ","");m&;"] = ";if(b![m&]<0,""," ");b![m&]
                print mkstr$("-",64)+"\n              x                      P(x)\n"+mkstr$("-",64)
                repeat :f!=0:print " x = ";:input x!:case x!= -1:end

                whileloop m&-1:k&=&Loop : f!=f!+(a![k&]*cos(k&*x!)+b![k&]*sin(k&*x!))

                    endwhile : p!=f!+a![0]+a![m&]*cos(m&*x!):locate %csrlin-1,1:
                    print "    ";if(x!<0,""," ");x!,tab(29);if(p!<0,""," ");p!

                until %key=27:end